피타고라스의 수 계산기｜공식 원시 피타고라스 수 유클리드 공식 증명과 예시

피타고라스의 수 계산기｜공식 원시 피타고라스 수 유클리드 공식 증명과 예시

피타고라스의 정리는 직각삼각형에서 두 직각변의 제곱의 합이 빗변의 제곱과 같다는 공식입니다. 가장 익숙한 형태로 쓰면 a² + b² = c²입니다. 여기서 a와 b는 직각을 이루는 두 변이고, c는 가장 긴 변인 빗변입니다.

이때 a, b, c가 모두 정수인 조합을 피타고라스의 수라고 부릅니다. 대표적으로 (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25) 같은 조합이 있습니다. 이번 글에서는 기존 내용을 더 보기 쉽게 정리하면서, 직접 값을 넣어볼 수 있는 피타고라스 계산기와 피타고라스 수 생성기를 함께 넣었습니다.

피타고라스 계산기 직각삼각형 변 길이·피타고라스 수·유클리드 공식 계산

두 변을 알고 있을 때 나머지 변을 계산하거나, 세 정수가 피타고라스의 수인지 판별하고, 유클리드 공식으로 원시 피타고라스 수와 일반 피타고라스 수를 생성할 수 있습니다.

직각삼각형 변 길이 계산

계산할 값빗변 c 구하기직각변 a 구하기직각변 b 구하기

소수점 자리

a 값

b 값

c 값

빗변 c는 항상 직각삼각형에서 가장 긴 변입니다. a 또는 b를 구할 때는 c가 다른 변보다 커야 합니다.

피타고라스의 수 판별

a

b

c

정렬 방식자동으로 큰 수를 빗변 처리입력한 c를 빗변으로 처리

세 수의 최대공약수가 1이면 원시 피타고라스 수, 1보다 크면 일반 피타고라스 수로 볼 수 있습니다.

유클리드 공식 생성기

m

n

배수 k

출력 정렬작은 변부터공식 순서 그대로

a = k(m² − n²), b = k(2mn), c = k(m² + n²)

m = n + d 정리식 계산

n

d 값

배수 k

표기d로 표기원문처럼 m으로 표기

a = k(2nd + d²), b = k(2n² + 2nd), c = k(2n² + 2nd + d²)

이 식은 완전히 새로운 별도 공식이라기보다, 유클리드 공식에서 m = n + d로 치환해 전개한 형태입니다.

피타고라스 수 목록 생성

빗변 c 최대값

종류전체원시만

c가 너무 크면 표가 길어질 수 있어 티스토리 글에서는 100~300 정도로 나눠 보여주는 편이 읽기 좋습니다.

공식 설명 요약

공식	형태	설명
피타고라스 정리	a² + b² = c²	직각삼각형의 기본 관계식
유클리드 공식	a = m² − n², b = 2mn, c = m² + n²	m > n인 정수로 피타고라스 수 생성
일반 피타고라스 수	k(m² − n²), k(2mn), k(m² + n²)	원시 피타고라스 수에 k배를 적용
치환 정리식	m = n + d	유클리드 공식을 다른 변수 형태로 전개

원시 피타고라스 수를 만들려면 gcd(m,n)=1이고, m과 n의 홀짝이 서로 달라야 합니다. 둘 다 홀수이거나 둘 다 짝수이면 원시가 아닌 배수 형태가 나오기 쉽습니다.

피타고라스의 정리 기본 개념

피타고라스의 정리는 직각삼각형에서만 사용할 수 있는 대표적인 수학 공식입니다. 두 직각변을 a, b라고 하고 빗변을 c라고 하면 아래 공식이 성립합니다.

a² + b² = c²

예를 들어 a=3, b=4라면 3² + 4² = 9 + 16 = 25이고, 25는 5²이므로 c=5가 됩니다. 그래서 (3, 4, 5)는 가장 유명한 피타고라스의 수입니다.

피타고라스의 수란?

피타고라스의 수는 a² + b² = c²을 만족하는 세 정수 a, b, c를 말합니다. 여기서 c는 빗변이므로 세 수 중 가장 큰 수가 됩니다. 세 수가 모두 정수라는 점이 중요합니다.

구분	의미	예시
피타고라스의 수	a² + b² = c²을 만족하는 정수 조합	(3, 4, 5), (5, 12, 13)
원시 피타고라스 수	a, b, c의 최대공약수가 1인 기본 조합	(3, 4, 5), (8, 15, 17)
일반 피타고라스 수	원시 피타고라스 수에 같은 수를 곱한 조합	(6, 8, 10), (9, 12, 15)

유클리드 공식으로 피타고라스 수 만들기

피타고라스의 수를 체계적으로 만드는 대표 공식은 유클리드 공식입니다. m과 n이 자연수이고 m > n일 때 아래처럼 세 수를 만들 수 있습니다.

a = m² − n²

b = 2mn

c = m² + n²

예를 들어 m=2, n=1을 넣으면 a=3, b=4, c=5가 됩니다. m=3, n=2를 넣으면 a=5, b=12, c=13이 됩니다.

여기서 원시 피타고라스 수를 만들려면 조건이 조금 더 필요합니다. m과 n의 최대공약수가 1이어야 하고, m과 n 중 하나는 홀수, 하나는 짝수여야 합니다. 이 조건을 만족하지 않으면 배수 형태의 일반 피타고라스 수가 나올 수 있습니다.

피타고라스의 수 계산공식 및 정의

원문에서 말한 새로운 공식은 무엇인가요?

원문에서는 기존 유클리드 공식을 조금 다른 형태로 정리한 식을 소개하고 있습니다. 핵심은 유클리드 공식의 m을 m = n + d처럼 두고 전개하는 방식입니다.

유클리드 공식에서 m = n + d로 두면 다음처럼 바뀝니다.

a = (n+d)² − n² = 2nd + d²

b = 2n(n+d) = 2n² + 2nd

c = (n+d)² + n² = 2n² + 2nd + d²

즉 이 공식은 완전히 새로운 별도 공식이라기보다는, 유클리드 공식을 다른 변수 형태로 다시 정리한 식으로 보는 것이 정확합니다. 장점은 m과 n의 차이값 d를 기준으로 피타고라스 수가 어떻게 만들어지는지 볼 수 있다는 점입니다.

d = 1일 때

d=1로 두면 식이 더 간단해집니다.

a = 2n + 1

b = 2n² + 2n

c = 2n² + 2n + 1

예를 들어 n=1이면 (3, 4, 5), n=2이면 (5, 12, 13), n=3이면 (7, 24, 25)가 나옵니다. 이처럼 d=1인 경우에는 홀수 직각변을 기준으로 이어지는 대표적인 피타고라스 수를 쉽게 만들 수 있습니다.

대표 피타고라스 수 표

아래는 자주 나오는 피타고라스의 수입니다. 시험이나 문제풀이에서는 (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), (7,24,25), (20,21,29)를 외워두면 계산이 빨라지는 경우가 많습니다.

기본형	배수형	설명
(3, 4, 5)	(6, 8, 10), (9, 12, 15), (12, 16, 20)	가장 많이 쓰이는 기본 조합
(5, 12, 13)	(10, 24, 26), (15, 36, 39)	중등·고등 문제에서 자주 등장
(8, 15, 17)	(16, 30, 34), (24, 45, 51)	빗변 17 조합
(7, 24, 25)	(14, 48, 50), (21, 72, 75)	d=1 정리식으로 쉽게 생성 가능
(20, 21, 29)	(40, 42, 58)	두 직각변이 가까운 형태

피타고라스 수를 공부할 때 헷갈리는 부분

1. a와 b의 순서는 바뀌어도 됩니다

(3, 4, 5)와 (4, 3, 5)는 같은 직각삼각형으로 볼 수 있습니다. 중요한 것은 두 짧은 변의 제곱의 합이 가장 긴 변의 제곱과 같다는 점입니다.

2. c는 항상 가장 긴 변입니다

피타고라스 정리에서 c는 빗변이므로 세 변 중 가장 긴 변입니다. 그래서 세 수를 판별할 때는 가장 큰 수를 c로 놓고 계산하는 것이 안전합니다.

3. 원시와 일반을 구분해야 합니다

(3, 4, 5)는 원시 피타고라스 수이고, 여기에 2를 곱한 (6, 8, 10)은 일반 피타고라스 수입니다. 둘 다 피타고라스의 수이지만, 원시는 더 이상 공통으로 나눌 수 없는 기본형입니다.

관련글

피타고라스의 수는 기하, 삼각형 넓이, 루트 계산, 좌표평면 거리공식과도 연결됩니다. 아래는 카테고리 링크가 아니라 해당 내용으로 바로 이어지는 관련글 형태로 넣기 좋은 구성입니다.

피타고라스 피타고라스 정리 관련 글 직각삼각형과 세 변의 관계를 이어서 정리할 때 좋습니다. 삼각형 삼각형 넓이와 변 길이 공식 직각삼각형 계산과 넓이 문제를 함께 볼 수 있습니다. 계산기 온라인 공학용 계산기 루트, 제곱, 삼각함수 계산을 함께 확인할 때 연결하기 좋습니다. 루트 계산 제곱근과 루트 계산 방법 빗변 계산에서 제곱근이 나올 때 같이 보면 좋습니다.

자주 묻는 질문

피타고라스의 수는 어떤 조건을 만족하나요?

a, b, c가 모두 정수이고 a² + b² = c²을 만족하면 피타고라스의 수입니다. 이때 c는 가장 긴 변인 빗변입니다.

원시 피타고라스 수는 무엇인가요?

a, b, c의 최대공약수가 1인 피타고라스의 수입니다. 예를 들어 (3, 4, 5)는 원시 피타고라스 수이고, (6, 8, 10)은 2로 나눌 수 있으므로 일반 피타고라스 수입니다.

유클리드 공식은 모든 피타고라스 수를 만들 수 있나요?

m, n, k를 적절히 잡으면 양의 정수 피타고라스 수를 생성할 수 있습니다. 원시 피타고라스 수를 만들려면 m과 n이 서로소이고 홀짝이 서로 달라야 합니다.

글에서 말한 새로운 공식은 완전히 새로운 공식인가요?

완전히 별개의 공식이라기보다는 유클리드 공식에서 m = n + d로 치환해 전개한 정리식으로 보는 것이 정확합니다. 같은 원리를 다른 변수로 표현한 형태입니다.

d = 1일 때 왜 자주 쓰이나요?

d = 1이면 a = 2n + 1, b = 2n² + 2n, c = 2n² + 2n + 1로 간단해져서 (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25)처럼 연속적인 대표 조합을 쉽게 만들 수 있습니다.

마무리

피타고라스의 수는 단순히 외우는 숫자 조합이 아니라, 직각삼각형의 구조를 정수로 표현한 것입니다. 유클리드 공식을 알면 여러 피타고라스 수를 직접 만들 수 있고, m = n + d처럼 변수를 바꿔 정리하면 숫자가 만들어지는 흐름도 더 직관적으로 볼 수 있습니다.

문제풀이에서는 자주 나오는 조합을 외워두면 빠르고, 원리를 공부할 때는 계산기에 m, n, d 값을 넣어 직접 피타고라스 수를 만들어보는 것이 좋습니다. 특히 원시 피타고라스 수와 일반 피타고라스 수를 구분하면 표에 나오는 숫자들이 왜 반복해서 등장하는지도 훨씬 쉽게 이해됩니다.