평면 운동에서 링크 개수와 자유도 구하는 법 그뤼블러 쿠츠바흐 방정식

우리가 흔히 보는 기계 구조물, 로봇팔, 링크 시스템은 어떤 원리로 움직일 수 있을까요? 복잡하게 보이지만 그 시작은 간단한 평면에서의 링크 시스템 이해부터입니다. 이 글에서는 평면 운동(2D 운동) 을 기준으로, 링크의 개수, 자유도(Degree of Freedom, DOF), 그리고 그뤼블러-쿠츠바흐 방정식을 실제 예시와 함께 자세히 알아봅니다.

평면 운동이란? 2차원 공간에서의 움직임

평면 운동이란 공간의 한 축(z축)을 제외한 x축과 y축, 즉 2차원 상에서만 움직이는 운동을 의미합니다.

회전은 z축을 중심으로 하는 1개의 회전 운동만 고려되고, 평면 상에서 x, y 방향 이동이 가능하므로 1개의 회전 + 2개의 병진 운동, 즉 총 3자유도가 발생합니다.

링크란 무엇인가?

링크(link) 는 기계 구조물의 각 부품을 의미하며, 일반적으로는 강체로 간주합니다.

이 링크들이 조인트(joint) 를 통해 서로 연결되며, 하나의 메커니즘을 구성하게 됩니다. 이때 바닥(ground) 역시 하나의 링크로 간주해야 합니다.

✅ 주의할 점: 바닥은 고정되어 움직이지 않지만, 다른 링크와의 연결 관계를 정의하기 때문에 링크 1개로 반드시 포함됩니다.

 

예시로 보는 링크 개수와 자유도 계산

아래 예시에서, 바닥 + bar 3개가 있다고 가정해봅시다.

• 링크 수: 바닥(1개) + bar 3개 = 총 4개
• 움직일 수 있는 링크 수: 4 - 1 = 3개
• 각 링크는 평면 운동이므로 3자유도를 가짐 → 총 자유도: 3 × 3 = 9

여기에 조인트를 4개 연결했다고 가정해봅시다. 대부분의 조인트는 회전만 허용하는 1자유도 조인트 (즉, 2자유도 제거) 입니다.

👉 단계별 계산

Step 1. 조인트 없이 링크들이 모두 자유롭게 움직인다고 가정

DOF = (N - 1) × 3 = (4 - 1) × 3 = 9

Step 2. 조인트 하나가 2자유도를 제거한다고 가정 → 4개 × 2 = 8 자유도 제거

최종 DOF = 9 - 8 = 1

즉, 이 기구는 1자유도 기구이며, 입력이 하나 들어가면 전체 구조가 특정 궤도로 따라 움직이는 구조입니다. 이처럼 자유도는 기구가 얼마나 독립적으로 움직일 수 있는지를 수치로 나타내는 중요한 개념입니다.

그뤼블러-쿠츠바흐 방정식이란?

이 방정식은 2D 평면 운동에서 링크와 조인트의 구성을 통해 기구의 자유도(DOF) 를 계산하는 일반적인 수식입니다.

DOF = (N - 1) × 3 - P₁ × 2 - P₂ × 1

• N: 전체 링크 수 (바닥 포함)
• P₁: 1자유도 조인트 수 (예: 회전축, 슬라이더 등)
• P₂: 2자유도 조인트 수 (예: 중첩 관절 등, 평면에서는 거의 없음)

📌 자주 쓰이는 조인트 예시

조인트 종류	자유도	구속 수	예시
회전 조인트	1	2	힌지, 볼트로 연결된 관절
슬라이더 조인트	1	2	레일 위 미끄러지는 부품
고정 조인트	0	3	용접, 볼트 고정 등 완전 결합

 

실생활 예시로 보는 자유도

• 문: 한 개의 힌지로 회전하므로 자유도 1
• 가위: 두 개의 날이 힌지로 연결 → 자유도 1
• 자동차 서스펜션 링크: 입력과 출력이 존재하므로 대체로 자유도 1
• 로봇 팔: 관절 개수에 따라 자유도 증가. 6자유도 이상은 3D 운동도 가능

자유도가 0이거나 음수가 되면?

기구의 자유도가 0이면 구조적으로 고정되어 어느 것도 움직이지 않습니다.

자유도가 음수가 되면 과구속(overconstrained) 상태로, 실제로 조립이 불가능하거나 움직임이 제한되어 부품에 응력이 집중될 수 있습니다.

마무리 정리

• 평면(2D) 운동에서는 링크 1개당 3자유도
• 바닥도 하나의 링크로 반드시 포함
• 조인트가 많아질수록 자유도는 줄어듦
• DOF = (N - 1) × 3 - P₁ × 2 - P₂ × 1 공식 활용
• 자유도가 1이면 하나의 입력으로 전체가 따라 움직이는 기구

기구 설계나 로봇 제어, CAD 시뮬레이션을 시작하는 사람이라면 이 자유도 개념과 계산법은 필수입니다.

평면 운동부터 확실히 잡고 나면 3차원 공간과 다물체 동역학으로 확장하기가 훨씬 수월합니다.
기계 설계의 첫걸음은 링크를 세고, 자유도를 구하는 것부터입니다.

자유도 계산식에서 ‘(N-1)’은 왜 사용하는 건가요?

여기서 N은 전체 링크 개수이며, (N-1)은 움직일 수 있는 링크의 개수를 의미합니다.

왜냐하면 바닥(ground) 은 고정되어 있어 자유롭게 움직이지 않기 때문입니다. 따라서 분석 대상이 되는 링크는 총 링크 수에서 바닥 1개를 뺀 (N-1)개가 됩니다.

DOF가 2 이상이면 어떤 구조인가요?

자유도(DOF) 가 2 이상이라는 건 입력이 2개 이상 필요하다는 뜻입니다.

예를 들어, 2개의 모터가 각각 독립적인 동작을 제어해야 하는 경우나, 다자유도 로봇 관절처럼 경로 선택의 자유가 많은 시스템에서 나타납니다.

하지만 대부분의 기계장치는 제어 간소화를 위해 DOF=1로 설계됩니다.

회전 조인트와 슬라이더 조인트의 차이는 뭔가요?

• 회전 조인트: 두 링크가 한 점을 중심으로 회전만 가능 (힌지)
• 슬라이더 조인트: 한 링크가 다른 링크를 따라 직선 이동 (슬롯/레일 구조)

둘 다 평면 기구에서 1자유도 조인트로 분류되며, 2개의 구속을 가합니다.

실제 설계 시 자유도 1이 중요한 이유는?

기계 구조에서 자유도 1은 하나의 입력으로 전체 시스템이 원하는 동작을 따르게 설계할 수 있다는 의미입니다.

예를 들어, 로봇팔에서 회전모터 하나로 특정 궤적을 따라 움직이게 만들 수 있거나, 캠 메커니즘에서 회전체 하나로 복잡한 왕복운동을 만들 수 있는 경우가 이에 해당합니다.

링크가 많으면 더 좋은 메커니즘인가요?

그렇지 않습니다. 링크 수가 많아질수록 복잡성, 비용, 오차 누적이 커지고, 조립과 유지보수도 어려워집니다.

좋은 설계란 최소한의 링크로 원하는 운동 특성을 정확히 구현하는 것입니다.
즉, 링크 수보다는 자유도와 운동 궤적, 조인트 배치의 효율성이 더 중요합니다.

DOF 계산식은 3차원에도 적용되나요?

기본적인 구조는 비슷하지만, 3차원(공간 운동) 에서는 각 링크당 자유도가 6개(3평행이동 + 3회전)로 늘어나고, 조인트의 구속도 더 다양합니다.

이를 반영한 3D용 DOF 계산식은 다음과 같습니다:

DOF = 6(N - 1) - Σ(각 조인트의 구속 수)

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슬라이더와 회전이 동시에 가능한 조인트도 있나요?

있습니다. 이를 복합 조인트(complex joint) 또는 커플 조인트(coupler joint) 라고 부르며, 보통 2자유도 조인트로 간주합니다.

예: 자동차 스티어링의 유니버설 조인트(U-joint)는 축이 서로 꺾여 있어 두 방향 회전을 전달합니다.

왜 자유도가 음수이면 과구속 상태인가요?

구속 조건이 너무 많아져서 실제로는 움직이지도 못하고 조립조차 어려운 구조가 되기 때문입니다.

이런 경우 구조물에 응력이 집중되어 파손 가능성도 커지며, 설계상 반드시 피해야 할 상태입니다.

4링크 기구가 가장 많이 쓰이는 이유는?

4링크 기구(four-bar linkage) 는 DOF=1로 안정적으로 동작하며, 구조가 단순해 캠, 크랭크, 펌프, 서스펜션 등 다양한 실무 설계에 적용됩니다.

기구학의 기초 모델이자 가장 널리 응용되는 구조 중 하나입니다.

링크와 조인트를 자동으로 계산해주는 툴이 있나요?

네, CAD/CAE 소프트웨어 중에서는

• SolidWorks,
• Autodesk Inventor,
• RecurDyn,
• Simscape Multibody (MATLAB)

같은 프로그램들이 링크-조인트 자동 계산 기능과 시뮬레이션을 제공합니다.
초보자도 이 툴들을 활용하면 실시간으로 자유도를 확인하며 설계할 수 있습니다.