피타고라스의 수 정리 유클리드 공식과 (n, m) 형태 다시 쓴 계산식

피타고라스의 수와 새로운 공식 소개

피타고라스의 정리는 직각삼각형에서 빗변의 제곱이 다른 두 변의 제곱의 합과 같다는 내용을 말합니다.

이 정리에서 도출되는 피타고라스의 수는 (a, b, c)처럼 세 개의 정수로 이루어진 집합이며, a² + b² = c²를 만족합니다. 대표적인 예로 (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25) 등이 있습니다.

피타고라스의 수를 구하는 기본적인 방법으로는 유클리드 공식이 오래전부터 널리 사용되어 왔습니다.

유클리드 공식

유클리드 공식은 다음과 같습니다.

a = m^2 - n^2,  
b = 2mn,  
c = m^2 + n^2

여기서 m과 n은 정수이며, m > n의 조건을 만족해야 합니다.

단순하고 강력하지만, 모든 피타고라스의 수를 정리해 나열하거나 계산을 반복할 때는 불편함을 느낄 수 있습니다.

피타고라스의 수들

피타고라스 수
(3, 4, 5)	(5, 12, 13)	(6, 8, 10)	(7, 24, 25)
(8, 15, 17)	(9, 12, 15)	(9, 40, 41)	(10, 24, 26)
(11, 60, 61)	(12, 16, 20)	(12, 35, 37)	(13, 84, 85)
(14, 48, 50)	(15, 20, 25)	(15, 36, 39)	(15, 112, 113)
(16, 30, 34)	(16, 63, 65)	(17, 144, 145)	(18, 24, 30)
(18, 80, 82)	(19, 180, 181)	(20, 21, 29)	(20, 48, 52)
(20, 99, 101)	(21, 28, 35)	(21, 72, 75)	(21, 220, 221)
(22, 120, 122)	(23, 264, 265)	(24, 32, 40)	(24, 45, 51)
(24, 70, 74)	(24, 143, 145)	(25, 60, 65)	(25, 312, 313)
(26, 168, 170)	(27, 36, 45)	(27, 120, 123)	(27, 364, 365)
(28, 45, 53)	(28, 96, 100)	(28, 195, 197)	(29, 420, 421)
(30, 40, 50)	(30, 72, 78)	(30, 224, 226)	(31, 480, 481)
(32, 60, 68)	(32, 126, 130)	(32, 255, 257)	(33, 44, 55)
(33, 56, 65)	(33, 180, 183)	(33, 544, 545)	(34, 288, 290)
(35, 84, 91)	(35, 120, 125)	(36, 48, 60)	(36, 77, 85)
(36, 105, 111)	(36, 160, 164)	(36, 323, 325)	(38, 360, 362)
(39, 52, 65)	(39, 80, 89)	(39, 252, 255)	(40, 42, 58)
(40, 75, 85)	(40, 96, 104)	(40, 198, 202)	(40, 399, 401)
(42, 56, 70)	(42, 144, 150)	(42, 440, 442)	(44, 117, 125)
(44, 240, 244)	(44, 483, 485)	(45, 60, 75)	(45, 108, 117)
(45, 200, 205)	(45, 336, 339)	(46, 528, 530)	(48, 55, 73)
(48, 64, 80)	(48, 90, 102)	(48, 140, 148)	(48, 189, 195)
(48, 286, 290)	(48, 575, 577)	(51, 68, 85)	(51, 140, 149)
(52, 165, 173)	(52, 336, 340)	(54, 72, 90)	(54, 240, 246)
(55, 132, 143)	(55, 300, 305)	(56, 90, 106)	(56, 105, 119)
(56, 192, 200)	(56, 390, 394)	(57, 76, 95)	(57, 176, 185)
(57, 540, 543)	(60, 63, 87)	(60, 80, 100)	(60, 91, 109)
(60, 144, 156)	(60, 175, 185)	(60, 221, 229)	(60, 297, 303)

새로운 공식의 도입

기존의 유클리드 공식에서 느껴지는 불편함을 줄이기 위해, 원문에서는 새로운 형태로 정리한 식을 제안했습니다.

피타고라 스수들 계산공식 및 정의

유클리드 공식에서 m = n + k라고 가정하고 정리하면, 아래처럼 전개할 수 있습니다.

[ a = (n + k)^2 - n^2, \quad b = 2(n + k)n, \quad c = (n + k)^2 + n^2 ]

이를 다시 정리하면 다음과 같습니다.

[ a = n^2 + 2nk + k^2 - n^2 = 2nk + k^2 ] [ b = 2n(n + k) = 2n^2 + 2nk ] [ c = n^2 + 2nk + k^2 + n^2 = 2n^2 + 2nk + k^2 ]

여기서 k를 m으로 바꾸어 표기하면,

[ a = 2nm + m^2 ] [ b = 2n^2 + 2mn ] [ c = 2n^2 + 2nm + m^2 ]

원문 기준으로 이 식은 m과 n이 정수라는 조건을 유지하면서, 계산 시 더 직관적으로 쓸 수 있는 형태로 정리된 공식입니다.

사용 예시

새롭게 정리한 공식을 이용해 예시를 들면, m = 1일 때 다음과 같은 결과를 얻습니다.

[ a = 2n \cdot 1 + 1^2 = 2n + 1 ] [ b = 2n^2 + 2n \cdot 1 = 2n^2 + 2n ] [ c = 2n^2 + 2n \cdot 1 + 1^2 = 2n^2 + 2n + 1 ]

이처럼 n과 m의 값에 따라 여러 가지 피타고라스의 수를 간단히 도출할 수 있습니다.

결론적으로 피타고라스의 수는 무한하게 존재하며, 이를 구하는 방법도 여러 형태로 정리할 수 있습니다.

피타고라스의 수들.pdf

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정리하면, 유클리드 공식은 기본적인 방법으로 많이 사용되어 왔고, 원문에서 제안한 정리식은 더 직관적이고 편리하게 활용될 수 있습니다.

이 공식을 이용하면 다양한 피타고라스의 수를 쉽게 찾아낼 수 있으니, 직접 값을 대입해보며 여러 조합을 만들어 보는 것도 좋습니다.

FAQ

Q. 피타고라스의 수는 어떤 조건을 만족하나요?
A. (a, b, c) 세 정수가 a² + b² = c²를 만족하는 경우를 말합니다.

Q. 유클리드 공식의 기본 형태는 무엇인가요?
A. 정수 m, n(m > n)에 대해 a = m^2 - n^2, b = 2mn, c = m^2 + n^2입니다.

Q. 글에서 말한 “새로운 공식”은 어떻게 나온 건가요?
A. 유클리드 공식에서 m = n + k로 두고 전개한 뒤 정리해 얻은 형태입니다.

Q. m = 1로 두면 어떤 식이 되나요?
A. a = 2n + 1, b = 2n^2 + 2n, c = 2n^2 + 2n + 1로 정리됩니다.

Q. 피타고라스의 수가 무한히 존재한다는 말은 어떤 의미인가요?
A. 원문처럼 m과 n을 정수로 두고 여러 값을 대입하면 (a, b, c)가 계속 생성되기 때문에, 가능한 조합이 끝없이 이어집니다.