피타고라스의 수들 - 계산공식 및 정의

피타고라스의 수와 새로운 공식 소개

피타고라스의 정리는 수학의 기초적인 원리 중 하나로, 직각삼각형의 빗변의 제곱이 다른 두 변의 제곱의 합과 같다는 것을 말합니다.

그리고 이 정리에서 도출된 피타고라스의 수는 (a, b, c)와 같이 세 개의 정수로 이루어진 집합으로, 이들은 a² + b² = c²를 만족합니다. 대표적인 예로 (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25) 등이 있습니다.

기존의 유클리드 공식은 피타고라스의 수를 구하는 데 있어 기본적인 방법으로 사용되어 왔습니다.

유클리드 공식은 다음과 같습니다: [ a = m^2 - n^2, \quad b = 2mn, \quad c = m^2 + n^2 ] 여기서 m과 n은 정수이며, m > n의 조건을 만족해야 합니다. 이 공식은 단순하고 강력하지만, 모든 피타고라스의 수를 간단하게 도출하는 데는 다소 불편한 점이 있습니다.

피타고라스의 수들

피타고라스 수
(3, 4, 5)	(5, 12, 13)	(6, 8, 10)	(7, 24, 25)
(8, 15, 17)	(9, 12, 15)	(9, 40, 41)	(10, 24, 26)
(11, 60, 61)	(12, 16, 20)	(12, 35, 37)	(13, 84, 85)
(14, 48, 50)	(15, 20, 25)	(15, 36, 39)	(15, 112, 113)
(16, 30, 34)	(16, 63, 65)	(17, 144, 145)	(18, 24, 30)
(18, 80, 82)	(19, 180, 181)	(20, 21, 29)	(20, 48, 52)
(20, 99, 101)	(21, 28, 35)	(21, 72, 75)	(21, 220, 221)
(22, 120, 122)	(23, 264, 265)	(24, 32, 40)	(24, 45, 51)
(24, 70, 74)	(24, 143, 145)	(25, 60, 65)	(25, 312, 313)
(26, 168, 170)	(27, 36, 45)	(27, 120, 123)	(27, 364, 365)
(28, 45, 53)	(28, 96, 100)	(28, 195, 197)	(29, 420, 421)
(30, 40, 50)	(30, 72, 78)	(30, 224, 226)	(31, 480, 481)
(32, 60, 68)	(32, 126, 130)	(32, 255, 257)	(33, 44, 55)
(33, 56, 65)	(33, 180, 183)	(33, 544, 545)	(34, 288, 290)
(35, 84, 91)	(35, 120, 125)	(36, 48, 60)	(36, 77, 85)
(36, 105, 111)	(36, 160, 164)	(36, 323, 325)	(38, 360, 362)
(39, 52, 65)	(39, 80, 89)	(39, 252, 255)	(40, 42, 58)
(40, 75, 85)	(40, 96, 104)	(40, 198, 202)	(40, 399, 401)
(42, 56, 70)	(42, 144, 150)	(42, 440, 442)	(44, 117, 125)
(44, 240, 244)	(44, 483, 485)	(45, 60, 75)	(45, 108, 117)
(45, 200, 205)	(45, 336, 339)	(46, 528, 530)	(48, 55, 73)
(48, 64, 80)	(48, 90, 102)	(48, 140, 148)	(48, 189, 195)
(48, 286, 290)	(48, 575, 577)	(51, 68, 85)	(51, 140, 149)
(52, 165, 173)	(52, 336, 340)	(54, 72, 90)	(54, 240, 246)
(55, 132, 143)	(55, 300, 305)	(56, 90, 106)	(56, 105, 119)
(56, 192, 200)	(56, 390, 394)	(57, 76, 95)	(57, 176, 185)
(57, 540, 543)	(60, 63, 87)	(60, 80, 100)	(60, 91, 109)
(60, 144, 156)	(60, 175, 185)	(60, 221, 229)	(60, 297, 303)

새로운 공식의 도입

기존의 유클리드 공식의 불편함을 해결하기 위해 새로운 공식을 제안합니다.

이 공식은 다음과 같이 유도될 수 있습니다. 유클리드 공식에서 m = n + k라고 가정하고 이를 정리하면

[ a = (n + k)^2 - n^2, \quad b = 2(n + k)n, \quad c = (n + k)^2 + n^2 ]

이를 다시 정리하면

[ a = n^2 + 2nk + k^2 - n^2 = 2nk + k^2 ] [ b = 2n(n + k) = 2n^2 + 2nk ] [ c = n^2 + 2nk + k^2 + n^2 = 2n^2 + 2nk + k^2 ]

여기서 k를 m으로 바꾸어 표기하면

[ a = 2nm + m^2 ] [ b = 2n^2 + 2mn ] [ c = 2n^2 + 2nm + m^2 ]

이 새로운 공식은 m과 n이 정수라는 조건을 가지고 있으며, 기존의 유클리드 공식보다 더 직관적이고 사용하기 쉽습니다.

사용 예시

새로운 공식을 사용하여 피타고라스의 수를 구하는 방법을 예시를 통해 설명하겠습니다. 예를 들어, m = 1로 놓으면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다

[ a = 2n \cdot 1 + 1^2 = 2n + 1 ] [ b = 2n^2 + 2n \cdot 1 = 2n^2 + 2n ] [ c = 2n^2 + 2n \cdot 1 + 1^2 = 2n^2 + 2n + 1 ]

이와 같이, 새로운 공식은 n과 m의 값에 따라 다양한 피타고라스의 수를 간단하게 도출할 수 있습니다.

즉 피타고라스의 수는 무한하게 존재하며, 이를 구하는 방법은 여러 가지가 있습니다.

피타고라스의 수들.pdf

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유클리드 공식은 기본적인 방법으로 많이 사용되었으나, 새로운 공식은 더 직관적이고 편리하게 사용될 수 있습니다. 이 새로운 공식을 통해 피타고라스의 수를 쉽게 찾아낼 수 있으며, 수학적으로도 매우 유용한 도구가 될 것입니다. 독자 여러분도 이 공식을 활용하여 다양한 피타고라스의 수를 구해보시기 바랍니다.